济海云帆

数学与音乐

 

作者：海甜

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学，符号体系的使用使数学具有高度的抽象性。而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术，它同样使用符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术。从表面上看，音乐与数学是“绝缘”的，其实不然。那数学与音乐有什么关联吗？为了回答这个问题，有必要先来介绍一下“音乐数”。

声音是否悦耳动听，与琴弦的长短有关。弹琴时，手指在琴弦上移动，不断改变琴弦的长度，琴就会发出高低起伏、抑扬顿挫的声音。如果是三根弦同时发音，只有当它们的长度比是3∶4∶6时，声音才最和谐、最优美，于是人们便把3、4、6叫做“音乐数”。它是在2500年前由古希腊著名数学家毕达哥拉斯发现的。

有一天，毕达哥拉斯经过一家铁匠铺，被里面传出的高高低低、富有节奏的打铁声所吸引，于是他走进铺子，细心观察，发现音响的和谐与发声体体积的比例有关。回家后，他又在琴弦上做了很多次试验，寻找琴弦发声协调动听的规律，最终发现了音乐数。同时他还进一步发现，只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程：如1∶2产生八度，2∶3产生五度，3∶4产生四度等。继而发现弦的每一和谐组合都可表示成整数比，按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶。例如，从产生音符C的弦开始，C的16/15长度给出B，C的6/5长度给出A，C的4/3长度给出G，C的3/2长度给出F，C的8/5长度给出E，C的16/9长度给出D，C的2/1长度给出低音C。由此他认为：“音乐之所以神圣而崇高，就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系。”

数学与音乐的交响诗从此唱响，千百年来让无数人流连陶醉。比如：乐器之王——钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键，有8个白键和5个黑键，而5个黑键分成两组，一组有两个黑键，另一组有3个黑键，2、3、5、8、13恰好就是数学史上著名的斐波拉契数列中的前几个数。此外，乐谱的书写表现数学对音乐的影响也非常显著。在乐稿上，我们看到书写乐谱时确定每小节内的音符数，与求公分母的过程相似。作曲家创作的音乐在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体。

也正因为如此，研究音乐和数学的关系在西方一直是一个热门课题。现代作曲家巴托克、勋伯格、凯奇等人都对音乐与数学的结合进行过大胆的实验。希腊作曲家克赛纳基斯创立了“算法音乐”，以数学方法代替音乐思维，创作过程也即演算过程，作品名称类似于数学公式，如《S+/10-1.080262》为10件乐器而作，于1962年2月8日计算而得。马卡黑尔发展了施托克豪森的“图表音乐”的思想，以几何图形的轮转方式作出“几何音乐”。19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点，他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和。根据这些研究，人们已经充分认识到音乐家和数学家在音乐的产生和复制方面发挥着同等重要的作用。

J．J西尔威斯特曾经问道：“难道不可以把音乐描述为感觉的数学，把数学描述为理智的音乐吗？”这实际上是对音乐和数学联系的间接描述。数学是对事物在量上的抽象，而音乐是对自然音响的抽象，我们所提到的两者的关联，正是在抽象这一点上将音乐与数学连结在一起。因此德国著名哲学家、数学家莱布尼茨说：“音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”而爱因斯坦说得更为风趣：“我们这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成。”

数学和音乐位于人类精神的两个极端，一个人全部创造性的精神活动就在这两个对立点的范围之内展开，而人类在科学和艺术领域中所创造出来的一切都分布在这两者之间，音乐和数学正是抽象王国中盛开的瑰丽之花，它们的美交相辉映。